解决方案:环是带有第二个称之为乘法运算的加法阿贝尔群两种运算¸¸&ced..

陪集的乘法定义为 ，这是定义良好的，使得 成为环。证明 IIIb aI ab 。因此，乘法是定义良好的，环公理容易验证。乘法恒等元是 观察如果 nZ 上的环结构与前面定义的一样。―――――――――――――――同态―――――――――― 定义 。（在左边，乘法在R内，而在右边， 乘法在R 这里列出环同态的基本性质。其中大部分在第页由群论的定理列出来了。 定理 是一个定义良好的环同态，使下图交换因此，在商环定义同态与在分子上定义同态而将分母映射为 证明我们知道所有这些均与群中的结论是平行的。仅需验证 是环同态，这是显然的。 习题找出一个环R ，它有真理想I 及元素b 中是一个单位。习题 证明如果u 的一个单位，则u的共轭是R 上的一个同构。亦即， ，这是一个环同态且是同构。习题 上逐点定义加法与乘法。这意味着如果 是环同态。习题 现在考虑情形 函数的类，i.e. 证明A是环。注意，大部分这方面的工作已经在前面的习题中做过了。仅需证明A是环 的子环。―――――――多项式环――――――――― 在微积分中，我们考虑多项式（实）函数， 。多项式的和与积还是多项式。易见多项式还是类构成一个交换环。在纯代数背景下我们 能形式地做同一样的事情。

定义 是交换环。x是变量或“符号”，多项式环 。如果最高项 简单地写成ab，为方便如同经常作的那样。 定理如果R 证明假设 deg(fg de ，因此fg 不是0。 令一个途径证明这个定理是看最低项而不是最高项。令 fg的第一个非零项。 定理（除法算式）假设R 是一个交换环， 的次数大于等于1。它的最高项系数在R 中是单位。（如果R 证明：这个定理叙述了多项式h 的存在性与唯一性。我们给出存在行证明的梗概，唯一性留作习题。设 直到余式的次数比m小。对g的次数进行归纳证明。设 的任多项式，结果成立。设g是次数为n 的多项式。现在存在多项式 deg(。由归纳法， deg(。由方程 。得证定理。注意： 如果 整除g。注意 整除g有余数 是次数为n的至少有 一根在R 中的多项式。则g 至多有n 和在R中没有根的唯一多项式h 使得 ，则我们说“g的所有根属于R 。”如果 ，我们说“g的所有根 证明唯一性证明是容易的，所以我们证明存在性。对 ，定理显然是对的。归纳假设 ，对次数小于n的任意多项式，定理是对的。现在，设g 的次数比n小，由归纳假设，定理得证。 注意 如果 是代数闭域。这叫代数的基本定理，本文只直接采用这个结果而没有证明它。

习题 有奇次数，则它有一个实根。并证明如果 ，在这种情况下，两个根均为实数。 定义 使得tT 注意Z是PID,任一个域是PID。 定理 含有的多项式中的最小次数，则I 含有形如 的唯一多项式，它具有性质 。因此是PID。进一步，I 的每个陪集可唯一地写成 证明这是使用除法算式的一个好的习题。注意，这类似于Z 的子群由一 个元素生成的证明（见第 是交换环C的一个子环， 的最小子环。这个映射h 叫做赋值映射。定理说， 中两个多项式的和的赋值与这两个多项式在C 中的赋值的和是一样的。 上的环同态。习题 ，这个h是满的。证明 。这个考察复数的一个好方法,i.e. 为得到C ，添加x 习题证明，如果R 的单位恰是R的单位。因此，如果F 是唯一分解整环，甚至不定义唯一分解整环。下一个定义和定理是仅仅包含在参考材料中的，不应在这个截断学习。 定义 的相伴多项式，如果存在一个单位 使得uf 是非常数多项式且整除 的相伴多项式。这里我们不展开 的理论。然后，展开是容易的，因为它对应第一章中Z的理论。除法算式对应着欧几里得算法。既约多项式对应着素整数，次数还是对 应着绝对值函数。一个区别是， 中的单位的非零常数，而Z的单位恰是 因此，f的相伴多项式是所有cf ，其中 ，而一个整数n的相伴数是 里是基本定理（这个理论在附录中以欧几里得环的专题完满第展开讨论）定理 是次数大于等于1的多项式，则 分解成既约多项式的乘积，这个分解在相差因子顺序和相伴多项式意义下是唯一的。